Сумма первых 15 членов арифметической прогрессии равна 80, а сумма первых 15 членов другой арифметической прогрессии, имеющей тот же первый член, но противоположную по знаку разность, равна (–20). Найти первый член прогрессий.

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться формулой для суммы членов арифметической прогрессии:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна Sn = (n/2)(2a + (n-1)d),

где: Sn - сумма первых n членов прогрессии, a - первый член прогрессии, d - разность прогрессии, n - количество членов.

Пусть в первой прогрессии первый член а1, а во второй прогрессии первый член -а1 (противоположный знак).

Из условия задачи: S1 = 15/2 * (2a + 14d) = 80, S2 = 15/2 * (2(-a) + 14d) = -20.

Разделим уравнения на 15 для удобства расчетов:

1. 2a + 14d = 32,
2. -2a + 14d = -4.

Сложим оба уравнения, и получим: 28d = 28 => d = 1.

Подставим значение разности d в первое уравнение: 2a + 14 = 32 => 2a = 18 => a = 9.

Итак, первый член прогрессий равен 9.