Ответ

Хорошо, давай разберёмся с этой системой неравенств шаг за шагом.

Сначала рассмотрим первое неравенство: \( x^2 + x - 6 \leq 0 \)

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдём корни соответствующего квадратного уравнения \( x^2 + x - 6 = 0 \). Для этого используем метод разложения на множители или дискриминант. В данном случае разложим на множители:

\( x^2 + 3x - 2x - 6 = 0 \) \( (x + 3)(x - 2) = 0 \)

Таким образом, корни уравнения: \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = 2 \).

Теперь нарисуем числовую ось и нанесем на неё точки -3 и 2. Выберем тестовые точки и определим знаки неравенства на каждом интервале.

Из этого мы получаем, что \( x^2 + x - 6 \leq 0 \) выполняется на интервале \( [-3, 2] \).

Теперь рассмотрим второе неравенство: \( -x^2 + 2x + 3 > 0 \)

Как и в первом случае, найдём корни квадратного уравнения \( -x^2 + 2x + 3 = 0 \).

\( -x^2 + 2x + 3 = 0 \) \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) \( (x - 3)(x + 1) = 0 \)

Корни уравнения: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -1 \).

Точно так же нарисуем числовую ось и нанесем на неё точки -1 и 3. Выберем тестовые точки и определим знаки неравенства на каждом интервале.

Из этого мы получаем, что \( -x^2 + 2x + 3 > 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty, -1) \) и \( (3, +\infty) \).

Теперь мы должны найти пересечение решений этих двух неравенств, учитывая, что \( x < 0 \), так как нам нужно, чтобы выполнялось оба неравенства.

Решение первого неравенства на отрицательных числах - это интервал \( [-3, 0) \), а второго - \( (-\infty, -1) \). Пересекая эти два интервала, получаем конечное решение системы неравенств: \( x \in [-3, -1) \).

Это значит, что подходящие значения \( x \) должны быть между -3 и -1, не включая -1.