y=2x2+1

Привет! Давай вместе рассмотрим твою задачу.

Ты указал функцию \( y = 2x^2 + 1 \). Это квадратичная функция, график которой — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) положителен. Вершина этой параболы находится в точке минимума, так как ветви направлены вверх.

Тебе нужно исследовать эту функцию на монотонность, то есть определить, при каких значениях переменной функция возрастает, а при каких убывает.

Для начала найдём координаты вершины параболы. Формула вершины параболы в общем случае для функции \( y = ax^2 + bx + c \) задаётся как \( x_v = -\frac{b}{2a} \). В нашем случае \( b = 0 \), таким образом:

\( x_v = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0 \)

Так как \( b = 0 \), парабола симметрична относительно оси Y и вершина находится на этой оси, следовательно, \( y_v \) равно свободному члену:

\( y_v = 1 \)

Координаты вершины параболы — (0, 1).

Теперь можно определить монотонность:

• Функция убывает слева от вершины, то есть при \( x < 0 \).
• Функция возрастает справа от вершины, то есть при \( x > 0 \).

Это исчерпывает задание 20.2(а), так как других точек, в которых производная меняет знак (а следовательно функция перестает быть монотонной), для квадратичной функции нет. Надеюсь, это помогло тебе разобраться с заданием!