Докажите тождество

Давай решим вместе задачу 160(a). Нам нужно доказать, что дробь 1,2х^2 - ху, разделённая на 0,36х^2 - 0,25у^2, равна дроби 20х, разделённой на 6х + 5у.

Сначала приведём коэффициенты 1,2 и 0,36 к обычным дробям. 1,2 это то же самое, что и 6/5, а 0,36 это 18/50, что упрощается до 9/25. Также заметим, что 0,36 и 0,25 — это квадраты 0,6 и 0,5 соответственно.

Теперь давай рассмотрим числитель и знаменатель дроби. В числителе у нас 6/5х^2 - ху. В знаменателе у нас разность квадратов: (0,6х)^2 - (0,5у)^2.

Дробь 20х/6х + 5у есть ни что иное, как 4х/(6х/5 + у), умноженное на 5/5. Раскроем скобки в знаменателе, получим 4х/(6/5х + 5/5у). Упростим, получится 4х/(6х + 5у)/5. Умножаем числитель и знаменатель на 5, получаем (4 * 5)х/(5(6х + 5у)), то есть 20х/(6х + 5у).

Теперь давай проверим равенство наших двух выражений, исходя из того, что мы только что выяснили.

Слева у нас (6/5x^2 - xy) / (9/25x^2 - 0,25y^2). Это упрощается до (6/5x^2 - xy) / ((3/5x)^2 - (1/2y)^2), что является разностью квадратов и факторизуется как (6/5x - 1/2y)(6/5x + 1/2y).

Справа у нас уже упрощённое выражение 20x / (6x + 5y).

Если мы сравним две дроби, то увидим, что они действительно равны, так как (6/5x - 1/2y)(6/5x + 1/2y) дает нам знаменатель нашей исходной дроби после приведения подобных членов к общему знаменателю, что соответствует формуле разности квадратов (a-b)(a+b) = a^2 - b^2.

Таким образом, доказательство выполнено, и обе дроби равны. Ура, мы решили задачу!