Дробь разложили на сумму простых дробей, определите получившиеся коэфициенты

Привет! Похоже, тебе нужно разделить рациональную функцию на сумму простых дробей, а после определить коэффициенты этих дробей. Давай сделаем это вместе.

На картинке у нас есть дробь \(\frac{4x}{9x^2+3x+1}\), которая уже разложена на сумму дробей с неизвестными коэффициентами: \(\frac{A}{x+1}\) и \(\frac{B}{(x+1)^2}\), и нужно найти эти коэффициенты \(A\) и \(B\).

Сначала нам нужно выразить исходную дробь как сумму двух дробей с общим знаменателем:

\[ \frac{4x}{9x^2+3x+1} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} \]

Чтобы найти \(A\) и \(B\), умножим обе части равенства на знаменатель левой дроби \((9x^2+3x+1)\), чтобы избавиться от дробей:

\[ 4x = A(x+1) + \frac{B}{x+1}\cdot(x+1)^2 \]

Упростим правую часть:

\[ 4x = A(x+1) + B \]

Теперь, чтобы найти \(A\) и \(B\), можно раскрыть скобки и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) в левой и правой частях равенства (методом неопределенных коэффициентов):

\[ 4x = Ax + A + B \]

Получим систему уравнений:

\[ \begin{cases} Ax = 4x \\ A + B = 0 \end{cases} \]

Из первого уравнения видим, что:

\[ A = 4 \]

Тогда подставим найденное значение \(A\) во второе уравнение, чтобы найти \(B\):

\[ 4 + B = 0 \]

Отсюда:

\[ B = -4 \]

Теперь у нас есть все коэффициенты. Дробь \(\frac{4x}{9x^2+3x+1}\) разложена на сумму простых дробей следующим образом:

\[ \frac{4x}{9x^2+3x+1} = \frac{4}{x+1} - \frac{4}{(x+1)^2} \]

Мы нашли коэффициенты \(A = 4\) и \(B = -4\). Надеюсь, это помогло тебе. Если что-то еще нужно разобрать, спрашивай!