Сократить дробь

Хорошо, давай попробуем вместе сократить эту дробь. У нас есть выражение \(\frac{9 - 2\sqrt{3}}{3\sqrt{6} - 2\sqrt{2}}\).

Для упрощения дроби мы можем воспользоваться методом умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение знаменателя. Сопряженное для знаменателя будет \(3\sqrt{6} + 2\sqrt{2}\). Таким образом, мы избавимся от иррациональности в знаменателе. Давай пошагово пройдемся по решению:

1. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя: \[\frac{9 - 2\sqrt{3}}{3\sqrt{6} - 2\sqrt{2}} \cdot \frac{3\sqrt{6} + 2\sqrt{2}}{3\sqrt{6} + 2\sqrt{2}}.\]

2. Применим формулу разности квадратов в знаменателе и раскроем скобки в числителе: \[(9 - 2\sqrt{3})(3\sqrt{6} + 2\sqrt{2}) = 27\sqrt{6} - 6\sqrt{18} + 18\sqrt{2} - 4\sqrt{6}\] \[(3\sqrt{6} - 2\sqrt{2})(3\sqrt{6} + 2\sqrt{2}) = 9 \cdot 6 - 4 \cdot 2.\]

3. После упрощения получим: \[27\sqrt{6} + 18\sqrt{2} - 6 \cdot 3\sqrt{2} - 4\sqrt{6} = 23\sqrt{6} + 12\sqrt{2} - 18\sqrt{2} = 23\sqrt{6} - 6\sqrt{2}\] \[9 \cdot 6 - 4 \cdot 2 = 54 - 8 = 46.\]

4. Таким образом, итоговая упрощенная дробь будет: \[\frac{23\sqrt{6} - 6\sqrt{2}}{46}.\]

5. Теперь можно сократить числитель и знаменатель на 2: \[\frac{23\sqrt{6} - 6\sqrt{2}}{46} = \frac{23\sqrt{6}/2 - 3\sqrt{2}}{23}.\]

6. И, наконец, сокращаем дробь на 23: \[\frac{23\sqrt{6}/2 - 3\sqrt{2}}{23} = \frac{23}{23}\cdot\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{3}{23}\cdot\sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{23}.\]

И вот мы упростили исходную дробь до \(\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{23}\).