реши

Хорошо, давай посмотрим на задачу 12.86 и попробуем её решить.

В ней говорится, что в арифметической прогрессии пятый член равен 2. При каком значении разности прогрессии сумма взаимосвязанных попарных произведений четвертого, седьмого и восьмого членов прогрессии будет наименьшей?

Это типичная задача на арифметическую прогрессию. Давай сначала найдем выражение для каждого из членов прогрессии через пятый член и разность.

Пусть пятый член прогрессии - a₅, и пусть разность прогрессии - d. Тогда:

• Четвертый член будет a₄ = a₅ - d,
• Седьмой член будет a₇ = a₅ + 2d,
• Восьмой член будет a₈ = a₅ + 3d.

Попарные произведения будут:

• a₄ * a₇ = (a₅ - d) * (a₅ + 2d) = a₅² + 2da₅ - da₅ - 2d² = a₅² + da₅ - 2d²,
• a₄ * a₈ = (a₅ - d) * (a₅ + 3d) = a₅² + 3da₅ - da₅ - 3d² = a₅² + 2da₅ - 3d²,
• a₇ * a₈ = (a₅ + 2d) * (a₅ + 3d) = a₅² + 5da₅ + 6d².

Теперь сложим их: Σ = a₅² + da₅ - 2d² + a₅² + 2da₅ - 3d² + a₅² + 5da₅ + 6d² = 3a₅² + 8da₅ + d².

Чтобы найти минимум этой суммы, нужно понять, что она представляет собой квадратичную функцию относительно d, и значение d, при котором функция будет иметь наименьшее значение, является вершиной параболы. Вершина параболы y = ax² + bx + c находится в точке x = -b/(2a). В нашем уравнении a = 1, b = 8a₅, c не важно для нахождения x.

Таким образом, d = -8a₅ / (2) = -4a₅.

Так как a₅ = 2 (по условию задачи), подставим и получим: d = -4 * 2 = -8.

Итак, разность арифметической прогрессии, при которой будет наименьшая сумма взаимосвязанных попарных произведений четвертого, седьмого и восьмого членов, равна -8.