.

Привет! Давай вместе решим эту задачу.

Сначала проверим, действительно ли четырехугольник ABCD является прямоугольником. В прямоугольнике противоположные стороны равны. Мы можем вычислить длину каждой стороны, используя координаты вершин.

Вершины A и B определяют одну из сторон. Исходя из координат \(A(14; 2)\) и \(B(16; 3)\), можем вычислить длину стороны AB по формуле расстояния между двумя точками на плоскости: \(AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\). Подставим наши значения и получим:
\(AB = \sqrt{(16 - 14)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\).

Теперь найдем длину стороны AD, используя координаты A и D: \(A(14; 2)\) и \(D(12; 6)\).
\(AD = \sqrt{(12 - 14)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}\).

Далее проверим стороны BC и CD аналогично.

Получив равные длины противоположных сторон AB и CD, а также AD и BC, мы можем утверждать, что четырехугольник ABCD — прямоугольник. Так же убедимся, что углы прямые, вычислив, например, скалярное произведение векторов AB и AD, оно должно быть равно 0.

Теперь найдем площадь прямоугольника как произведение длин его сторон:
\(S = AB \times AD\).

Ранее мы получили, что \(AB = \sqrt{5}\), \(AD = \sqrt{20}\), следовательно,
\(S = \sqrt{5} \times \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10\).

Площадь прямоугольника ABCD равна 10.