.

Привет! Давай вместе решим эту задачу по геометрии.

У нас есть прямоугольный треугольник с суммой катетов равной 17 км и гипотенузой равной 13 км. Нам нужно найти площадь этого треугольника.

Для начала заметим, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Мы знаем гипотенузу (она равна 13 км), и можем использовать теорему Пифагора, чтобы записать систему уравнений для нахождения катетов. Если обозначить катеты как x и y, то по теореме Пифагора, \(x^2 + y^2 = 13^2\) (гипотенуза в квадрате). Также по условию задачи \(x + y = 17\).

Теперь выбираем правильную математическую модель среди тех, что представлены в вопросе. Правильная модель:

\[ \left\{ \begin{array}{l} x + y = 17 \\ x^2 + y^2 = 169 \end{array} \right. \]

Эта система уравнений отражает и сумму катетов и соотношение сторон в прямоугольном треугольнике через теорему Пифагора.

Теперь нам нужно решить эту систему уравнений. Мы могли бы найти катеты, а затем и площадь треугольника, но так как катеты не даны в задаче и спрашивается только площадь, мы можем пойти коротким путем, зная формулу площади прямоугольного треугольника \(S = \frac{1}{2}xy\).

Зная, что \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \), подставим известные значения (при этом \( x^2 + y^2 = 169 \)): \( (x + y)^2 = 17^2 = 289 \) \( 289 = 169 + 2xy \) \( 2xy = 289 - 169 \) \( 2xy = 120 \) \( xy = 60 \)

Тогда площадь треугольника \(S = \frac{1}{2}xy = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30\) км².

Итак, площадь прямоугольного треугольника равна 30 квадратных километров.