Решить 4 задание

Привет! Давай разберемся с четвертым заданием.

Нам надо найти значение выражения:

\( 25\sin^2 70^\circ - \frac{1}{2\cos 2 \times 70^\circ} - \cos 215^\circ \)

Для начала вспомним несколько тригонометрических формул и фактов.

1. Формула двойного угла для косинуса: \( \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha \). Из этого можно выразить \( \cos^2 \alpha \) или \( \sin^2 \alpha \), если это поможет нам упростить выражение.

2. Свойство периодичности косинуса: \( \cos(\alpha + 180^\circ) = -\cos \alpha \). Это значит, что \( \cos 215^\circ = -\cos(215^\circ - 180^\circ) = -\cos 35^\circ \).

Теперь применим эти знания:

\( \frac{1}{2\cos 2 \times 70^\circ} = \frac{1}{2(2\cos^2 70^\circ - 1)} \)

\( \cos 2 \times 70^\circ = \cos 140^\circ = -\cos(140^\circ - 180^\circ) = -\cos(-40^\circ) = -\cos 40^\circ \)

Так как \( \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha \), то \( \cos 40^\circ = \sin 50^\circ \) и \( \sin^2 70^\circ = \cos^2 20^\circ \) (по такому же принципу).

Используя все эти знания, подставим их в выражение и упростим его:

\( 25\sin^2 70^\circ - \frac{1}{2\cos 2 \times 70^\circ} - \cos 215^\circ \) \( = 25\cos^2 20^\circ - \frac{1}{2(-2\cos^2 70^\circ + 1)} - (-\cos 35^\circ) \) \( = 25\cos^2 20^\circ - \frac{1}{-4\cos^2 70^\circ + 2} + \cos 35^\circ \)

Теперь остается только подставить значения косинусов и решить численно. Если ты не можешь это сделать в уме, используй калькулятор.

Надеюсь, это поможет! Если возникнут вопросы по ходу решения – обращайся. Удачи!