Решить

Привет! Давай вместе разбираться с этим примером.

У нас есть выражение, которое надо упростить:

\[ \frac{2\sin^2 70° - 1}{2\operatorname{ctg} 115° \cdot \cos^2 115°} \]

Сначала работаем с числителем:

Формула двойного угла для синуса говорит нам, что \( \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \), если подставить в наш пример 70° вместо x, получим формулу для \( \sin^2 70° \), и так как перед ней стоит коэффициент 2, то выражение в числителе примет вид \( 2 \cdot \frac{1 - \cos 140°}{2} - 1 \), коэффициенты 2 сокращаются и останется \( 1 - \cos 140° - 1 \), единицы тоже сокращаются, останется \( -\cos 140° \). Очевидно, что \( \cos 140° = -\cos(180° - 140°) = -\cos 40° \), но раз перед ним стоит минус, то он тоже сократится и получится \( \cos 40° \). Теперь займемся знаменателем:

Для котангенса известно, что \( \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \). Если подставить 115° вместо x, то получим \( \operatorname{ctg} 115° = \frac{\cos 115°}{\sin 115°} \). Так как \( \cos 115° = -\cos(180° - 115°) = -\cos 65° \) и \( \sin 115° = \sin(180° - 115°) = \sin 65° \), то \( \operatorname{ctg} 115° = -\frac{\cos 65°}{\sin 65°} \). Подставляем это в знаменатель:

\[ 2 \cdot -\frac{\cos 65°}{\sin 65°} \cdot \cos^2 115° = -2\frac{\cos 65° \cos^2 115°}{\sin 65°} \]

Теперь упрощаем \( \cos^2 115° \), используя формулу для косинуса двойного угла \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \), получим:

\[ \cos^2 115° = \frac{1 + \cos 230°}{2} \]

Но т.к. 230° - это угол третьей четверти, где косинус отрицательный, и \( \cos 230° = -\cos(230° - 180°) = -\cos 50° \), получаем:

\[ \cos^2 115° = \frac{1 - \cos 50°}{2} \]

Теперь подставляем это обратно в знаменатель:

\[ -2\frac{\cos 65° \cdot \frac{1 - \cos 50°}{2}}{\sin 65°} = -\frac{\cos 65° (1 - \cos 50°)}{\sin 65°} \]

Теперь супер важно обратить внимание на то, что \( \sin 65° = \cos 25° \), так как \( \sin(90° - x) = \cos x \), и сократим выражение:

\[ -\frac{\cos 65° (1 - \cos 50°)}{\cos 25°} \]

Поскольку \( \cos 65° = \sin 25° \), выражение в знаменателе можно упростить:

\[ -\frac{\sin 25° (1 - \cos 50°)}{\cos 25°} \]

Упростим теперь \( 1 - \cos 50° \) как \( \sin^2 25° \), потому что \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \), и в итоге в знаменателе у нас останется:

\[ -\frac{\sin 25° \sin^2 25°}{\cos 25°} \]

Теперь мы сокращаем \( \sin 25° \) в числителе и знаменателе и получаем:

\[ -\sin 25° \]

Таким образом, весь наш пример упрощается до \( \cos 40° / -\sin 25° \). Но обрати внимание, что \( \cos 40° = \sin 50° \), и в результате у нас получится:

\[ \frac{\sin 50°}{-\sin 25°} \]

Можно увидеть, что скоро \( \sin 50° \) и \( \sin 25° \) можно представить в виде \( 2\sin 25°\cos 25° \), по формуле для синуса двойного угла (\( \sin 2x = 2\sin x\cos x \)). Таким образом, у нас остается:

\[ \frac{2\sin 25° \cos 25°}{-\sin 25°} \]

Сокращаем \( \sin 25° \) и упрощаем выражение до:

\[ -2\cos 25° \]

И вот решение нашей задачи:

\[ -2\cos 25° \]

Надеюсь, это помогло тебе разобраться с примером!