Зайти f(x) для функции f(x)=

Давай разберем задачу шаг за шагом. Тебе нужно найти производную функции \( f(x) = \frac{x^4}{8} + 2x(x^2 - x) \), а затем вычислить значение этой производной при \( x = 0 \).

Сначала давай найдем производную \( f'(x) \). Для этого воспользуемся основными правилами дифференцирования и правилом производной степенной функции:

1. Производная от \( \frac{x^4}{8} \) равна \( \frac{4x^3}{8} \), что упрощается до \( \frac{x^3}{2} \).
2. Для второго слагаемого у нас произведение двух функций \( u = 2x \) и \( v = x^2 - x \). Применяя правило производной произведения (взять производную от \( u \) и умножить на \( v \), а затем добавить производную от \( v \) умноженную на \( u \)), получаем:

\( u' = 2 \) и \( v' = 2x - 1 \), отсюда производная произведения равна \( u' * v + u * v' = 2(x^2 - x) + 2x(2x - 1) \).

Упростим второе слагаемое:

\( 2(x^2 - x) + 4x^2 - 2x = 2x^2 - 2x + 4x^2 - 2x = 6x^2 - 4x \).

Теперь сложим результаты:

\( f'(x) = \frac{x^3}{2} + 6x^2 - 4x \)

Теперь подставим \( x = 0 \) в полученное выражение для производной:

\( f'(0) = \frac{0^3}{2} + 6 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 = 0 \)

Ответ: \( f'(0) = 0 \).