Реши задачу про трубы

Это задача на логику и алгебру. Начнём с этапов её решения:

1. Поймём, что из себя представляет задача.
2. Сформулируем условия задачи алгебраически.
3. Решим уравнение, чтобы найти ответ.

Итак, на картинке перед нами условие задачи о двух трубах, заполняющих резервуар.

Первая труба пропускает на 2 литра в минуту меньше, чем вторая. Если резервуар объёмом 70 литров заполняется первой трубой на 4 минуты дольше, чем второй, то необходимо найти сколько литров воды в минуту пропускает первая труба.

Пусть \(x\) - количество литров, которое пропускает вторая труба в минуту. Тогда первая труба пропускает \(x - 2\) литров в минуту. Время, которое потребуется второй трубе, чтобы заполнить резервуар, будет \(70/x\) минут, а для первой трубы - \(70/(x - 2)\) минут. По условию, первая труба заполняет резервуар на 4 минуты дольше.

Теперь мы можем составить уравнение:

\[ \frac{70}{x - 2} - \frac{70}{x} = 4 \]

Чтобы решить это уравнение, нам нужно сначала привести его к общему знаменателю:

\[ \frac{70x - 70(x - 2)}{x(x - 2)} = 4 \]

Произведем вычисления в числителе:

\[ \frac{70x - 70x + 140}{x(x - 2)} = 4 \]

Упростим выражение:

\[ \frac{140}{x(x - 2)} = 4 \]

Теперь умножим обе части уравнения на \(x(x - 2)\), чтобы избавиться от дроби:

\[ 140 = 4x(x - 2) \]

Раскроем скобки в правой части уравнения:

\[ 140 = 4x^2 - 8x \]

Разделим всё уравнение на 4, чтобы упростить его:

\[ 35 = x^2 - 2x \]

Теперь приведём уравнение к виду квадратного уравнения:

\[ x^2 - 2x - 35 = 0 \]

Коэффициенты: \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -35\). Находим дискриминант по формуле \(b^2 - 4ac\):

\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 \]

Корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{D} = \sqrt{144} = 12 \]

Находим корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]

Поскольку количество литров в минуту не может быть отрицательным, берём положительный корень: \(x_2 = 7\) литров в минуту - это скорость второй трубы. Теперь найдём скорость первой трубы:

\[ x - 2 = 7 - 2 = 5 \] литров в минуту.

Ответ: 5 литров в минуту пропускает первая труба.