Вот

Итак, у нас есть равносторонний треугольник ABC с высотами AD и BE. Нам известно, что сторона треугольника BO равна 12 см. Поскольку треугольник равносторонний, то BO также равно длине стороны треугольника, то есть AB = BC = CA = 12 см. Нам нужно найти радиус вписанной окружности.

В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности лежит в точке пересечения всех трех высот, и эти высоты также являются медианами и биссектрисами. Поэтому расстояние от вершины до центра вписанной окружности составляет две трети от высоты треугольника.

Чтобы найти высоту равностороннего треугольника, можно воспользоваться формулой: \( h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \), где a - сторона треугольника. В нашем случае \( h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12 \).

Теперь, зная высоту, можно найти радиус вписанной окружности (r), который равен одной трети высоты: \( r = \frac{1}{3} h \).

Вычисляем: \( h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 12 = 6\sqrt{3} = 6 \cdot 1.732 \) (примерно, так как \(\sqrt{3}\) приблизительно равно 1.732).

Таким образом, \( h \approx 6 \cdot 1.732 \approx 10.392 \) см.

Соответственно, \( r = \frac{1}{3} \cdot 10.392 \approx 3.464 \) см.

Округляем до десятых: r ≈ 3.5 см.

Так что ответ: r ≈ 3.5 см.