Номер 661
Привет! Давай посмотрим на задачу номер 661.
Вот текст задачи: "Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке E. Найдите угол BEC, если ∠ADC = 54°, ∠BC = 70°."
Сначала вспомним несколько теорем:
- Углы, образованные при пересечении двух хорд, измеряются полусуммой дуг, на которые эти хорды опираются.
- Противоположные углы в четырехугольнике, вписанном в окружность, в сумме дают 180°.
Теперь перейдем к решению. Из условия известно, что ∠ADC = 54° и ∠BC = 70°. По теоремам о вписанном четырехугольнике ∠ABC + ∠ADC = 180° (поскольку они противоположные), отсюда ∠ABC = 180° - 54° = 126°.
Теперь рассмотрим треугольник AEB. По теореме о хордах ∠AEB = (угловая величина дуги AC + угловая величина дуги BD) / 2. Дуги AC и BD вместе составляют полную окружность, то есть 360°. Дуга BD равна 126° (поскольку на неё опирается ∠ABC), следовательно, дуга AC равна 360° - 126° = 234°.
Таким образом, получаем ∠AEB = (234° + 126°) / 2 = 180°. Однако ∠AEB не может быть развернутым углом, так как он вписан в окружность. Значит, раз мы взяли угловую величину дуги AC, которая больше, чем дуга BD, нужно брать разность, а не сумму.
Правильно будет так: ∠AEB = (угловая величина дуги AC - угловая величина дуги BD) / 2 = (234° - 126°) / 2 = 108° / 2 = 54°.
Теперь рассмотрим ∠BEC. Если ∠AEB = 54°, то по теореме о вписанном четырёхугольнике ∠BEC + ∠AEB = 180°, следовательно, ∠BEC = 180° - 54° = 126°.
Ответ: угол BEC равен 126°.
