.

Question 1

Задача Задача №951607

А

Аноним

24 апреля 2024 17:15 · публичный вопрос

А

Аноним 24 апреля 2024 17:15

.

Answer

Привет! Давай вместе решим это задание.

Нам даны координаты вершин четырехугольника \(ABCD\): \(A(14; 3)\), \(B(16; 4)\), \(C(15; 6)\) и \(D(13; 5)\).

Чтобы доказать, что четырехугольник является прямоугольником, нужно показать, что его стороны образуют прямые углы. Мы можем это сделать, показав, что произведения угловых коэффициентов смежных сторон равны -1 (это значит, что стороны перпендикулярны).

Для начала найдем угловые коэффициенты сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(AD\).

Угловой коэффициент прямой \(AB\) равен: \(k_{AB} = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) = (4 - 3) / (16 - 14) = 1/2\).

Угловой коэффициент прямой \(BC\) равен: \(k_{BC} = (y_C - y_B) / (x_C - x_B) = (6 - 4) / (15 - 16) = -2\).

Угловой коэффициент прямой \(CD\) равен: \(k_{CD} = (y_D - y_C) / (x_D - x_C) = (5 - 6) / (13 - 15) = -1/2\).

Угловой коэффициент прямой \(AD\) равен: \(k_{AD} = (y_D - y_A) / (x_D - x_A) = (5 - 3) / (13 - 14) = 2\).

Перемножим угловые коэффициенты для смежных сторон: \(k_{AB} * k_{BC} = (1/2) * (-2) = -1\), \(k_{BC} * k_{CD} = (-2) * (-1/2) = 1\), \(k_{CD} * k_{AD} = (-1/2) * 2 = -1\), \(k_{AD} * k_{AB} = 2 * (1/2) = 1\).

Мы видим, что произведения угловых коэффициентов для пар смежных сторон равны -1 для пар сторон \(AB\) и \(BC\), \(CD\) и \(AD\), это означает, что они перпендикулярны. Так как произведения угловых коэффициентов других пар сторон \(BC\) и \(CD\), \(AD\) и \(AB\) равны 1, значит, стороны параллельны. Отсюда следует, что четырехугольник \(ABCD\) является прямоугольником.

Теперь найдем площадь прямоугольника. Для этого нам нужны длины сторон \(AB\) и \(AD\).

\(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(16 - 14)^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\),

\(AD = \sqrt{(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2} = \sqrt{(13 - 14)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}\).

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: \(S_{ABCD} = AB * AD = \sqrt{5} * \sqrt{5} = 5\).

Ответ: \(S_{ABCD} = 5\).

Question 2

.

Answer

Привет! Давай вместе решим это задание. Нам даны координаты вершин четырехугольника \(ABCD\): \(A(14; 3)\), \(B(16; 4)\), \(C(15; 6)\) и \(D(13; 5)\). Чтобы доказать, что четырехугольник является прямоугольником, нужно показать, что его стороны образуют прямые углы. Мы можем это сделать, показав, что произведения угловых коэффициентов смежных сторон равны -1 (это значит, что стороны перпендикулярны). Для начала найдем угловые коэффициенты сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(AD\). Угловой коэффициент прямой \(AB\) равен: \(k_{AB} = (y_B - y_A) / (x_B - x_A) = (4 - 3) / (16 - 14) = 1/2\). Угловой коэффициент прямой \(BC\) равен: \(k_{BC} = (y_C - y_B) / (x_C - x_B) = (6 - 4) / (15 - 16) = -2\). Угловой коэффициент прямой \(CD\) равен: \(k_{CD} = (y_D - y_C) / (x_D - x_C) = (5 - 6) / (13 - 15) = -1/2\). Угловой коэффициент прямой \(AD\) равен: \(k_{AD} = (y_D - y_A) / (x_D - x_A) = (5 - 3) / (13 - 14) = 2\). Перемножим угловые коэффициенты для смежных сторон: \(k_{AB} * k_{BC} = (1/2) * (-2) = -1\), \(k_{BC} * k_{CD} = (-2) * (-1/2) = 1\), \(k_{CD} * k_{AD} = (-1/2) * 2 = -1\), \(k_{AD} * k_{AB} = 2 * (1/2) = 1\). Мы видим, что произведения угловых коэффициентов для пар смежных сторон равны -1 для пар сторон \(AB\) и \(BC\), \(CD\) и \(AD\), это означает, что они перпендикулярны. Так как произведения угловых коэффициентов других пар сторон \(BC\) и \(CD\), \(AD\) и \(AB\) равны 1, значит, стороны параллельны. Отсюда следует, что четырехугольник \(ABCD\) является прямоугольником. Теперь найдем площадь прямоугольника. Для этого нам нужны длины сторон \(AB\) и \(AD\). \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(16 - 14)^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\), \(AD = \sqrt{(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2} = \sqrt{(13 - 14)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}\). Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: \(S_{ABCD} = AB * AD = \sqrt{5} * \sqrt{5} = 5\). Ответ: \(S_{ABCD} = 5\).