В) Дана окружность с центром О и диаметром АВ. Вне окружности взята точка М, так что прямые МА и МВ пересекают окружность в точках С и D соответственно; АС = = CD = BD. Докажите, что АС = ОВ. Ответ

Для доказательства равенства длин отрезков АС и ОВ воспользуемся свойством окружностей, а именно свойством касательных.

Поскольку длина CD равна длине BD, треугольник BCD - равносторонний. Значит, угол CBD равен 60 градусам. По свойству касательной угол, образуемый хордой при вершине конуса, равен половине центрального угла. Таким образом, угол COB = 2 * CBD = 120 градусов.

Теперь вспомним, что угол, составленный касательной и хордой, равен углу, образуемому при данной хорде и касательной. Значит, угол COB = углу CAM.

Но так как треугольники CAM и COB образуются одной вершиной, то оставшиеся углы этих треугольников также равны, а значит, треугольники CAM и COB равносторонние.

А из равносторонности треугольника CAM следует, что AC = AM, а значит, AC = AV, откуда следует, что AC = OV.

Таким образом, длины отрезков AC и OV равны, что и требовалось доказать.