сложная первообразная
Привет! Давай разберемся с этой задачей на поиск первообразной.
Нам дана функция под знаком интеграла: корень из x/5 + 4sin(4x + 2). Нам нужно найти, какая из предложенных функций является ее первообразной.
Чтобы проверить правильность каждого варианта, нужно продифференцировать предложенные функции и сравнить с исходной функцией.
Посмотрим на предложенные варианты:
Первый вариант предлагает нам функцию, производная которой содержит член «-cos(4x + 2)». Это похоже на производную от sin(4x + 2), что хорошо, так как у нас есть 4sin(4x + 2) в исходной функции.
Второй, третий и четвертый варианты также содержат косинус с аргументом (4x + 2) или 4x, что подходит под второе слагаемое нашей исходной функции, но мы должны также учитывать первое слагаемое.
В пятом варианте появляется "lg", что совершенно не вписывается в исходное выражение, поэтому его можно исключить.
Нам необходимо выбрать такую функцию, производная которой дает нам именно корень из x/5 после продифференцирования первого слагаемого, и -cos(4x + 2) при дифференцировании второго.
Давай обратим внимание на коэффициенты внутри функции с корнем, то есть наша первообразная должна содержать x^3/2 и константу, которая компенсирует число 5 под корнем и коэффициент дифференцирования степени 3/2.
Производная от x^(3/2) будет (3/2)x^(1/2), так что нам нужно, чтобы коэффициент перед x^(3/2) в первообразной дал после упрощения выражение под корнем в исходной функции.
Из этого следует, что правильный ответ - первый вариант:
2x^(3/2) / (3√5) - cos(4x + 2) - 11π
Дробь 2 / (3√5) умноженная на производную от x^(3/2) дает нам x^(1/2) / √5, что соответствует корню из x/5, а "- cos(4x + 2)" как раз и будет производной 4sin(4x + 2), за исключением постоянной, которая в данном контексте не играет роли, так как мы ищем только общий вид первообразной.
Итак, правильный ответ - первый.
