Реши

Привет! Давай разберёмся с этой задачей.

На фотографии видно, что перед нами задача №19 из контрольной работы по математике для 8 класса. Судя по всему, это задача на нахождение натурального числа по его свойствам.

Задача звучит так: "Максим написал пять натуральных (обязательно различных) чисел, а потом вычислил все возможные попарные суммы этих чисел. Получилось всего три различных значения: 45, 68 и 91. Посмотрев на полученные Верой значения, Пётр сразу смог назвать наибольшее из написанных Максимом чисел. Какое это число?"

Чтобы решить задачу, нужно вспомнить, что если Максим написал пять различных чисел, то попарных сумм будет \(C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10\) (число сочетаний из 5 по 2). Однако у нас всего три различных значения сумм, значит, некоторые из сумм повторяются.

Самое большое число, которое может получиться при суммировании двух наибольших написанных чисел, должно быть больше, чем любая из других сумм, следовательно, 91 должно быть суммой двух наибольших чисел.

Теперь давай разберёмся с другими суммами. Поскольку числа различны, наименьшие из них дадут самую маленькую сумму при сложении, следовательно, 45 - это сумма двух наименьших чисел.

Оставшаяся сумма, 68, - это сумма наименьшего и наибольшего числа, либо результат сложения чисел, которые находятся между наименьшим и наибольшим по величине числами.

Теперь давай найдём наибольшее и наименьшее числа. 91 - 45 = 46, это разность между наибольшим и наименьшим написанными Максимом числами. И так как Петр смог узнать наибольшее число, зная только суммы, то наибольшее и наименьшее числа однозначно определены. Если бы 68 было суммой не наибольшего и не наименьшего чисел, Петр бы не смог определить какое из чисел наибольшее.

И так, у нас есть значение суммы наибольшего и наименьшего числа - 68, и разность между этими числами - 46. Пусть наименьшее из написанных чисел равно \(x\), тогда наибольшее число будет \(x + 46\). Сложив два этих равенства, получим \(2x + 46 = 68\), отсюда \(2x = 68 - 46\), следовательно \(x = \frac{68 - 46}{2} = \frac{22}{2} = 11\).

Теперь легко находим наибольшее число: \(11 + 46 = 57\). Значит, наибольшее из написанных Максимом чисел - 57.

Ответ: 57.