Интегралы

Привет! Давай разберемся с этим интегралом шаг за шагом.

У нас есть определенный интеграл от функции cos(4x) с пределами интегрирования от -π/8 до π/8. Чтобы его вычислить, нам нужно найти первообразную функции cos(4x), а потом вычесть значение первообразной в нижнем пределе из значения в верхнем пределе.

Первообразная для cos(ax) (где a — константа) это (1/a)sin(ax) + C, где C — это константа интегрирования, которая нам не понадобится, так как мы вычисляем определенный интеграл. Для нашего случая a = 4, так что первообразная будет (1/4)sin(4x).

Теперь подставим пределы интегрирования:

∫[−π/8, π/8] cos(4x) dx = (1/4)sin(4x) | [−π/8, π/8] =

= (1/4)sin(4(π/8)) - (1/4)sin(4(-π/8)) =

= (1/4)sin(π/2) - (1/4)sin(-π/2).

Мы знаем, что sin(π/2) = 1 и sin(-π/2) = -1, так что подставляем эти значения:

= (1/4)(1) - (1/4)(-1) =

= 1/4 + 1/4 =

= 1/2.

Таким образом, значение интеграла равно 1/2.