Площадь фигуры

Привет! Давай попробуем вместе решить эту задачу.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями \( y = 4 - x^2 \) и \( y = x^2 - 2x \), нам нужно сначала найти точки пересечения этих двух кривых. Это даст нам границы интегрирования.

Приравняем функции друг к другу и найдем \( x \): \[ 4 - x^2 = x^2 - 2x \] \[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для начала найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac \] \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) \] \[ D = 4 + 32 \] \[ D = 36 \]

Теперь найдем корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{4} \] \[ x_{1,2} = \frac{2 \pm 6}{4} \]

У нас есть две точки: \[ x_1 = \frac{2 + 6}{4} = 2 \] \[ x_2 = \frac{2 - 6}{4} = -1 \]

Итак, точки пересечения - это \( x = -1 \) и \( x = 2 \).

Теперь мы можем найти площадь между кривыми, используя определенный интеграл от разности этих функций на интервале от \(-1\) до \(2\): \[ A = \int_{-1}^{2} (4 - x^2) - (x^2 - 2x) \, dx \] \[ A = \int_{-1}^{2} (4 - 2x^2 + 2x) \, dx \]

Теперь проинтегрируем функцию по частям: \[ A = [4x - \frac{2}{3}x^3 + x^2]_{-1}^{2} \]

Подставим пределы интегрирования: \[ A = (4 \cdot 2 - \frac{2}{3} \cdot 2^3 + 2^2) - (4 \cdot (-1) - \frac{2}{3} \cdot (-1)^3 + (-1)^2) \] \[ A = (8 - \frac{16}{3} + 4) - (-4 + \frac{2}{3} + 1) \] \[ A = (12 - \frac{16}{3}) - (-\frac{10}{3}) \] \[ A = 12 - \frac{16}{3} + \frac{10}{3} \] \[ A = 12 - 2 + \frac{10}{3} \] \[ A = 10 + \frac{10}{3} \] \[ A = \frac{30}{3} + \frac{10}{3} \] \[ A = \frac{40}{3} \]

Итак, площадь фигуры составляет \( \frac{40}{3} \) квадратных единиц. Надеюсь, это поможет! Если что-то непонятно – спрашивай.