Найдите значение выражения

Привет! Давай посмотрим, как решить это выражение шаг за шагом.

Во-первых, заметим, что выражение содержит дроби. Чтобы упростить выражение, мы можем сначала произвести упрощение в скобках, а уже потом подставить значения a и b.

Дано выражение: \[ \left( \frac{36a^2 - 1}{49b^2} \right) \div \left( \frac{6a - 1}{7b} \right) \] и значения переменных \( a = \frac{5}{6} \) и \( b = \frac{2}{21} \).

Первый шаг, это упростить дробь в скобках. Для начала заметим, что \( 36a^2 - 1 \) и \( 6a - 1 \) представляют собой разность квадратов: \[ 36a^2 = (6a)^2 \] \[ 6a - 1 = (6a - 1)(6a + 1) \]

Таким образом, наше выражение принимает вид: \[ \left( \frac{(6a - 1)(6a + 1)}{49b^2} \right) \div \left( \frac{6a - 1}{7b} \right) \]

Далее мы можем упростить выражение, разделив числитель и знаменатель первой дроби на вторую дробь: \[ = \frac{(6a - 1)(6a + 1)}{49b^2} \cdot \frac{7b}{6a - 1} \]

Замечаем, что \( 6a - 1 \) сокращается: \[ = \frac{6a + 1}{49b^2} \cdot \frac{7b}{1} \]

Теперь выполним умножение и упростим дробь: \[ = \frac{(6a + 1) \cdot 7b}{49b^2} \]

Замечаем, что 49 и 7 сокращаются, а \( b \) упрощается: \[ = \frac{6a + 1}{7b} \]

Теперь подставим значения \( a \) и \( b \): \[ = \frac{6 \cdot \frac{5}{6} + 1}{7 \cdot \frac{2}{21}} \]

Сокращаем шесть в числителе и знаменателе: \[ = \frac{5 + 1}{7 \cdot \frac{2}{21}} \]

Сложим 5 и 1: \[ = \frac{6}{7 \cdot \frac{2}{21}} \]

Теперь умножим знаменатель на обратную дробь \( \frac{21}{2} \): \[ = \frac{6}{\frac{7 \cdot 2}{21}} \]

Упростим дробь в знаменателе: \[ = \frac{6}{\frac{14}{21}} \]

Перевернем дробь в знаменателе и умножим: \[ = 6 \cdot \frac{21}{14} \]

Сократим на 7: \[ = 6 \cdot \frac{3}{2} \]

И, наконец, умножим: \[ = 6 \cdot \frac{3}{2} = 3 \cdot 3 = 9 \]

Итак, значение выражения равно 9.