Реши интеграл

Привет! Давай вместе разберёмся с интегралом. Судя по картинке, перед нами неопределённый интеграл функции \( \frac{x}{(x^2 + x + 1)^2} \). Чтобы его решить, нам понадобится найти подходящую замену.

Для начала заметим, что если производная \(x^2 + x + 1\) равна \(2x + 1\), то она похожа на числитель. Давай попробуем замену \(t = x^2 + x + 1\), тогда производная \(dt = (2x + 1)dx\). Но у нас числитель просто \(x\), поэтому попробуем разделить на 2 обе части: \(\frac{dt}{2} = xdx\).

Теперь подставим нашу замену в интеграл:

\( \int \frac{x \, dx}{(x^2 + x + 1)^2} = \int \frac{\frac{1}{2} dt}{t^2} \)

Теперь это интеграл от \( \frac{1}{2t^2} \), который равен \( -\frac{1}{2t} \).

Теперь нужно вернуться к исходной переменной:

\( -\frac{1}{2t} = -\frac{1}{2(x^2 + x + 1)} \)

Не забудь про константу интегрирования \(C\), так что финальный ответ:

\( -\frac{1}{2(x^2 + x + 1)} + C \)

Вот так мы и решили интеграл!