Реши
Хорошо, давай разбираться. Перед нами задачи на тему "Первообразная и интеграл".
В варианте 1 требуется доказать, что функция \( y = F(x) \) является первообразной для функции \( y = f(x) \), если \( F(x) = 0.2x^5 + 7 \), \( f(x) = x^4 - 3x^2 \). Для доказательства нам нужно найти производную от \( F(x) \) и показать, что она совпадает с \( f(x) \). Дифференцируем \( F(x) \): производная от \( x^5 \) равна \( 5x^4 \), но так как перед \( x^5 \) стоит коэффициент \( 0.2 \), то производная будет \( 0.2 \cdot 5x^4 = x^4 \). Семерка как константа при дифференциации исчезает. Получаем, что производная \( F(x) \) равна \( x^4 \), что и требовалось доказать.
В первой части варианта 1 нужно найти первообразную для функции \( y = \frac{1}{x^2} + x^4 \). Первообразная функции \( \frac{1}{x^2} \) - это \( -\frac{1}{x} \), а для \( x^4 \) это будет \( \frac{1}{5}x^5 \), таким образом, первообразной данной функции будет \( -\frac{1}{x} + \frac{1}{5}x^5 + C \), где \( C \) - константа интегрирования.
Для нахождения первообразной функции \( y = 6x^2 - 4x + 1 \), которая проходит через точку \( A(1; -3) \), мы сначала найдем общий вид первообразной: \( 2x^3 - 2x^2 + x + C \). Теперь подставим координаты точки \( A \) для нахождения \( C \): \( 2*1^3 - 2*1^2 + 1 + C = -3 \). Решая это уравнение, мы получим \( C \). Я вижу, что при подстановке \( 2 - 2 + 1 = 1 \), значит, чтобы получить \( -3 \), \( C \) должно быть равно \( -4 \). Таким образом, уравнение первообразной, проходящей через точку \( A \), будет \( y = 2x^3 - 2x^2 + x - 4 \).
Подобным образом могут быть решены и задачи из варианта 3, если они понадобятся. Помни, ключ в понимании процесса нахождения производных и интегрирования. Если что-то непонятно, кидай вопрос!
