Реши пример
Давай решим это уравнение шаг за шагом.
У нас есть уравнение:
\[8^x - 7 \cdot 2^{2x} - 2^{x+2} + 28 = 0\]
Сперва заметим, что \(8^x = (2^3)^x = 2^{3x}\), а \(2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x\).
Теперь подставим и упростим уравнение:
\[2^{3x} - 7 \cdot (2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 28 = 0\]
Теперь сделаем замену \(2^x = t\), где \(t > 0\), следовательно \(2^{2x} = t^2\) и \(2^{3x} = t^3\). В результате получим квадратное уравнение относительно \(t\):
\[t^3 - 7t^2 - 4t + 28 = 0\]
Теперь раскладываем на множители (например, методом группировки или подбором корней). Попробуем найти корни методом подбора.
Заметим, что \(t=2\) будет корнем, так как \(2^3 = 8\), \(7 \cdot 2^2 = 28\) и \(4 \cdot 2 = 8\), следовательно \(8 - 28 - 8 + 28 = 0\).
Теперь разделим уравнение на \(t - 2\), чтобы найти другие корни:
\[(t - 2)(t^2 - 5t - 14) = 0\]
Коэффициенты второго уравнения подсказывают, что у нас есть корни уравнения \(t^2 - 5t - 14\) равны \(t = -2\) (который не подходит, так как \(t\) не может быть отрицательным, исходя из замены) и \(t = 7\).
Итак, у нас есть два решения для \(t\): \(t = 2\) и \(t = 7\).
Обратная замена дает нам решения для \(x\):
- \(2^x = 2\) дает \(x = 1\), так как \(2^1 = 2\).
- \(2^x = 7\) дает \(x = \log_2 7\), так как \(2\) в степени \(\log_2 7\) дает \(7\).
Следовательно, корни уравнения:
\[x = 1\] \[x = \log_2 7\]
В вариантах ответов подходят \(x = 1\) и \(x = \log_2 7\).
