Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 3 см, наибольшая диагональ призмы составляет с плоскостью осно- вания призмы угол 30 градусов. Найдите высоту призмы и её объём.

Для нахождения высоты призмы и её объёма в данной задаче нам необходимо использовать геометрические свойства правильной шестиугольной призмы.

По условию, сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 3 см. Это значит, что радиус вписанной окружности в шестиугольник (или апофема) также равен 3 см. Так как угол между наибольшей диагональю призмы и плоскостью основания составляет 30 градусов, мы можем использовать геометрические связи, чтобы найти высоту призмы.

Высота призмы (h) вычисляется как произведение радиуса основания на √3. Таким образом, h = 3√3 см.

Объем призмы можно найти как произведение площади основания на высоту призмы. Площадь правильного шестиугольника равна (3^2 * √3) / 2, а высота у нас уже известна (3√3). Подставляя значения, получим V = (3^2 * √3) / 2 * 3√3 = 27√3 см^3.

Таким образом, высота призмы равна 3√3 см, а её объём составляет 27√3 см^3.