.
Привет! Давай посмотрим на задачки, которые у тебя есть, и попробуем их решить.
- Для того чтобы найти мгновенную скорость движения точки для заданной функции пути \( S(t) \), нам нужно просто найти производную от этой функции.
а) \( S(t)=2t-1 \) Производная будет \( S'(t) = 2 \), это и есть искомая мгновенная скорость.
б) \( S(t)=-4t-3 \) Здесь производная будет \( S'(t) = -4 \), это мгновенная скорость для данного случая.
Скорость изменения функции можно найти, взяв производную. Для \( f(x)=2x^2 \), производная будет \( f'(x)=4x \). Подставляем \( x_0=2 \) и получаем \( f'(2)=4*2=8 \).
Теперь найдем значение производной функции \( y=f(x) \) в точке \( x_0 \):
а) \( y=8x^3-3x+1 \) и \( x_0=1 \) Производная: \( y'=24x^2-3 \) Значение в точке \( x_0=1 \) будет \( y'(1)=24*1^2-3=24-3=21 \)
б) \( y=3\cos(x)+2\sin(x) \) и \( x_0=\frac{\pi}{3} \) Производная: \( y'=-3\sin(x)+2\cos(x) \) Значение в точке \( x_0=\frac{\pi}{3} \): \( y'(\frac{\pi}{3})=-3\sin(\frac{\pi}{3})+2\cos(\frac{\pi}{3})=-3*\frac{\sqrt{3}}{2}+2*\frac{1}{2}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}+1 \)
- Найдем производные данных функций:
а) \( g=\left(\frac{2}{x^4}-1\right)\cos(x) \) Это произведение двух функций, поэтому используем правило производной произведения (производную произведения можно найти как произведение производной первой функции на вторую плюс первую функцию на производную второй). Производную \( \frac{2}{x^4} \) легко найти, используя правило производной степенной функции.
б) \( y=\frac{e^{2/x}}{\tan(x)} \) Тут, аналогично, продукт двух функций: экспоненты \( e^{2/x} \) и \( \frac{1}{\tan(x)} \), используем правило частного и цепочку правил для степени и тангенса.
- Для функции \( y=\frac{\sqrt{x}-3}{x^2} \), используем правило производной частного и цепное правило для дифференцирования корня.
Если нужно подробнее разобрать какой-то пункт или есть ещё вопросы – пиши, обсудим!
