.
Привет! Давай вместе разберемся с этими задачами.
- Мгновенная скорость движения точки - это производная от закона ее движения. Так что нужно просто взять производную функции \( S(t) \).
а) \( S(t) = 2t - 1 \)
Производная по \( t \) будет \( S'(t) = 2 \).
б) \( S(t) = t^4 - t^3 \)
Производная будет \( S'(t) = 4t^3 - 3t^2 \).
- Скорость изменения функции \( f(x) = 2x^3 \) в точке \( x_0 = 2 \) - это просто ее производная в этой точке.
Производная функции \( f(x) = 2x^3 \) равна \( f'(x) = 6x^2 \). Подставим \( x = 2 \): \( f'(2) = 6 * 2^2 = 24 \).
- Здесь тоже нужны производные функций в заданной точке.
а) \( y = 8x^3 - 3x + 1 \), \( x_0 = -1 \)
Производная: \( y' = 24x^2 - 3 \)
Подставляем \( x_0 = -1 \): \( y'(-1) = 24*(-1)^2 - 3 = 21 \).
б) \( y = 3\cos x + 2\sin x \), \( x_0 = \frac{\pi}{3} \)
Производная: \( y' = -3\sin x + 2\cos x \)
Подставляем \( x_0 = \frac{\pi}{3} \): \( y'(\frac{\pi}{3}) = -3\sin(\frac{\pi}{3}) + 2\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} + 2*\frac{1}{2} = -\frac{3\sqrt{3} + 1}{2} \).
- В задачах на производные такие функции тоже обрабатываются последовательно.
а) \( g = (\frac{2}{x^4} - 1) \cos x \)
Нам нужна производная произведения, тут используем правило производной произведения: \( (u\cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \), где \( u = (\frac{2}{x^4} - 1) \), \( v = \cos x \).
Найдите производные \( u \) и \( v \) по отдельности, подставьте и упростите.
б) \( y = \frac{x}{\tan x} \)
Используйте правило производной дроби \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \), где \( u = x \) и \( v = \tan x \). Найдите производные \( u \) и \( v \), подставьте и упростите.
- Производная функции \( y = \frac{(\sqrt{x} - 3)\sin x}{x^2} \)
Это дробь, и опять же, нам нужно использовать правило производной дроби, как в предыдущем пункте. Найдите производные числителя и знаменателя, подставьте и упростите.
Попробуй подставить шаги в формулы и получить окончательные ответы. У тебя обязательно получится!
