?
Давай попробуем вместе разобраться с этой задачей по тригонометрии. На картинке у нас текст:
Тригонометрическое уравнение а) Решите уравнение \(\sqrt{2}\sin(\frac{3\pi}{2} - x) \cdot \sin x = \cos x\). б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-5\pi, -4\pi]\). В ответе укажите сумму найденных в пункте б) корней, делённую на \(\frac{\pi}{4}\).
Начнём с пункта а):
- Используем формулу приведения для синуса: \(\sin(\frac{3\pi}{2} - x) = \cos x\).
- Подставим в исходное уравнение: \(\sqrt{2}\cos x \cdot \sin x = \cos x\).
- Заметим, что можно разделить обе части уравнения на \(\cos x\), но перед этим стоит убедиться, что \(\cos x \neq 0\), так как на ноль делить нельзя. Если \(\cos x = 0\), то \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\), где \(n\) - целое число. Учтём это потом.
- Таким образом, получим уравнение: \(\sqrt{2}\sin x = 1\).
- Решим это уравнение: \(\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}\), откуда \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k\) или \(x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число.
Теперь перейдём к пункту б):
- Мы уже знаем, что нужно найти корни уравнения на отрезке \([-5\pi, -4\pi]\).
- Подставим \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\) в интервал \([-5\pi, -4\pi]\) и поищем подходящие значения \(n\), чтобы не забыть о случаях, когда \(\cos x = 0\).
- Теперь рассмотрим корни вида \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k\) и \(x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k\), также проверим, какие из них попадают в интервал \([-5\pi, -4\pi]\).
После нахождения всех корней на данном отрезке сложим их и разделим сумму на \(\frac{\pi}{4}\). Полученный результат и будет ответом на задачу. Помни, что для вычисления суммы и деления используй базовое арифметическое умение, без калькулятора.
Давай проверим корни и найдём их сумму в интервале \([-5\pi, -4\pi]\), и я помогу тебе с делением, если понадобится.
