.

Question 1

Задача Задача №958133

А

Аноним

25 апреля 2024 08:49 · публичный вопрос

А

Аноним 25 апреля 2024 08:49

.

Answer

Давай вместе решим задачу под номером 4 из твоего задания.

У нас есть треугольник \( ABC \) и известно, что \( AB = AC = 15 \) см, что делает его равнобедренным. \( AD = 8 \) см - это также высота, потому что она опущена на основание из вершины, противоположной равным сторонам, и это значит, что она делит основание \( BC \) пополам. Значит, \( BD = DC \). Мы также видим точки касания \( M, N, D \) вписанной окружности.

а) Чтобы найти \( BM \) и \( MD \), вспомним свойство касательных отрезков, исходящих из одной точки - они равны. Значит, \( BM = MD \). Треугольник \( ABD \) прямоугольный, т.к. \( AD \) - высота. По теореме Пифагора для этого треугольника справедливо: \( AB^2 = AD^2 + BD^2 \), откуда \( BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{15^2 - 8^2} = \sqrt{225 - 64} = \sqrt{161} \). Теперь у нас есть \( BD (=DC) = \sqrt{161} \) см, а значит, \( BM (=MD) = \sqrt{161} \) см.

б) Радиус вписанной окружности \( r \) можно найти, используя формулу площади треугольника через радиус вписанной окружности: \( S = p \cdot r \), где \( p \) - полупериметр треугольника. Полупериметр \( ABC \): \( p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{2 \cdot 15 + 2\sqrt{161}}{2} = 15 + \sqrt{161} \) см.

Площадь \( S \) равнобедренного треугольника \( ABC \) можно также найти как \( \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высоту \): \( S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{161} \cdot 8 = 8\sqrt{161} \) см².

Теперь найдем радиус, подставив все известные значения в формулу площади: \( 8\sqrt{161} = (15 + \sqrt{161}) \cdot r \), откуда \( r = \frac{8\sqrt{161}}{15 + \sqrt{161}} \) см. Для удобства дальнейшего использования радиуса лучше оставить его в таком виде, не считая точного значения.

Вот и все, задача решена! Если что-то осталось непонятно – обязательно спрашивай, разберем подробнее.

Question 2

.

Answer

Давай вместе решим задачу под номером 4 из твоего задания. У нас есть треугольник \( ABC \) и известно, что \( AB = AC = 15 \) см, что делает его равнобедренным. \( AD = 8 \) см - это также высота, потому что она опущена на основание из вершины, противоположной равным сторонам, и это значит, что она делит основание \( BC \) пополам. Значит, \( BD = DC \). Мы также видим точки касания \( M, N, D \) вписанной окружности. а) Чтобы найти \( BM \) и \( MD \), вспомним свойство касательных отрезков, исходящих из одной точки - они равны. Значит, \( BM = MD \). Треугольник \( ABD \) прямоугольный, т.к. \( AD \) - высота. По теореме Пифагора для этого треугольника справедливо: \( AB^2 = AD^2 + BD^2 \), откуда \( BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{15^2 - 8^2} = \sqrt{225 - 64} = \sqrt{161} \). Теперь у нас есть \( BD (=DC) = \sqrt{161} \) см, а значит, \( BM (=MD) = \sqrt{161} \) см. б) Радиус вписанной окружности \( r \) можно найти, используя формулу площади треугольника через радиус вписанной окружности: \( S = p \cdot r \), где \( p \) - полупериметр треугольника. Полупериметр \( ABC \): \( p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{2 \cdot 15 + 2\sqrt{161}}{2} = 15 + \sqrt{161} \) см. Площадь \( S \) равнобедренного треугольника \( ABC \) можно также найти как \( \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высоту \): \( S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{161} \cdot 8 = 8\sqrt{161} \) см². Теперь найдем радиус, подставив все известные значения в формулу площади: \( 8\sqrt{161} = (15 + \sqrt{161}) \cdot r \), откуда \( r = \frac{8\sqrt{161}}{15 + \sqrt{161}} \) см. Для удобства дальнейшего использования радиуса лучше оставить его в таком виде, не считая точного значения. Вот и все, задача решена! Если что-то осталось непонятно – обязательно спрашивай, разберем подробнее.