.

Привет! Давайте решим эту задачу вместе.

У нас есть прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. В треугольнике проведена высота BH.

Из условия мы знаем следующее: BH = 3 см AB = 12 см

Чтобы найти BC, мы можем использовать свойство высоты, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника. Свойство гласит, что квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Пусть \( CH = x \), тогда \( AH = 12 - x \). Теперь мы можем составить уравнение:

\( BH^2 = CH \cdot AH \) \( 3^2 = x \cdot (12 - x) \) \( 9 = 12x - x^2 \) \( x^2 - 12x + 9 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Чтобы его решить, найдем дискриминант \( D \):

\( D = b^2 - 4ac \) \( D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 \) \( D = 144 - 36 \) \( D = 108 \)

Теперь вычислим корни уравнения: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \) \( x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{108}}{2} \)

Так как \( \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3} \), у нас получится: \( x_{1,2} = \frac{12 \pm 6\sqrt{3}}{2} \) \( x_{1} = 6 + 3\sqrt{3} \) \( x_{2} = 6 - 3\sqrt{3} \)

Так как проекция CH должна быть меньше длины гипотенузы AB, мы берем меньший корень: \( CH = 6 - 3\sqrt{3} \)

Так как CH и BH являются катетами прямоугольного треугольника CHB, длина гипотенузы BC будет равна \( \sqrt{CH^2 + BH^2} \): \( BC = \sqrt{(6 - 3\sqrt{3})^2 + 3^2} \)

Выполним возведение в квадрат и сложим:

\( (6 - 3\sqrt{3})^2 = 36 - 36\sqrt{3} + 27 \) \( 36 + 27 = 63 \)

Итак, у нас получается: \( BC = \sqrt{63 + 9} \) \( BC = \sqrt{72} \) \( BC = \sqrt{36 \cdot 2} \) \( BC = 6\sqrt{2} \)

Таким образом, длина BC равна \( 6\sqrt{2} \) см. Надеюсь, это помогло! Если что-то непонятно, спрашивай.