Решить систему неравинств

Привет! Давай вместе решим эту систему неравенств.

Итак, у нас есть задача:

1. \[x^2 - 5x + 6 \geq 0,\] \[5x^2 - 3x - 2 \leq 0,\] \[x^2 < 4;\]

Чтобы решить первое неравенство, найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 5x + 6 = 0\). Для этого решаем через дискриминант: \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1.\] Корни уравнения: \[x_1 = (5 - \sqrt{1}) / 2 = 2,\] \[x_2 = (5 + \sqrt{1}) / 2 = 3.\]

Теперь раскладываем на множители: \[x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \geq 0.\] Из этого следует, что интервалы, где неравенство выполняется - это \(-\infty\) до 2 и от 3 до \(+\infty\).

Дальше рассмотрим второе неравенство. Снова ищем корни: \[5x^2 - 3x - 2 = 0.\] Дискриминант: \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49.\] Корни уравнения: \[x_1 = (3 + \sqrt{49}) / (2 \cdot 5) = 1,\] \[x_2 = (3 - \sqrt{49}) / (2 \cdot 5) = -0.4.\]

Имеем: \[5x^2 - 3x - 2 = 5(x - 1)(x + 0.4) \leq 0.\] Неравенство верно между корнями: \(x \in [-0.4, 1]\).

И наконец, последнее неравенство просто говорит о том, что \(x^2\) должно быть меньше 4, то есть \(x\) должен быть меньше 2 и больше -2.

Теперь найдем пересечение этих интервалов: \[(-\infty, 2) \cup (3, +\infty),\] \([-0.4, 1],\] \((-2, 2).\)

Пересечение всех трех интервалов - это промежуток: \[x \in [-0.4, 1].\]

Вот и все! Если у тебя есть еще какие-то вопросы или нужна помощь, пиши, помогу разобраться!