На рисунке прямая BE касается окружности с центром O в точке B. Найдите угол PBE, если угол AOB=142 градуса

Хорошо, давай разбираться с этой задачей вместе.

На рисунке видно, что прямая BE касается окружности в точке B. Это значит, что угол между касательной и радиусом окружности (угол OBE) прямой, то есть равен 90 градусов.

У нас есть центральный угол AOB, равный 142 градуса. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается, таким образом, дуга AB тоже равна 142 градуса.

Вспомним теперь, что в окружности сумма противоположных углов, образованных при пересечении двух хорд равна 180 градусов (это из-за того, что сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусов и углы при каждой вершине образуют пары равных углов). Здесь у нас дуга AB плюс дуга EPB должны вместе составлять 360 градусов. Получается, дуга EPB равна 360 - 142 = 218 градусов.

Угол между хордой и касательной к окружности (угол PBE) равен половине разности дуг, заключенных внутри этого угла и дуги, стягиваемой хордой (формулировка свойства угла между касательной и хордой). То есть угол PBE будет равен половине дуги EPB. Получается:

угол PBE = 1/2 * дуга EPB = 1/2 * 218 = 109 градусов.

Таким образом, угол PBE равен 109 градусов.