Реши систему не равенст номер 20.4
Привет! Давай решим вместе систему неравенств, которую ты указал — номер 20.4. Вот она:
\[ \left\{ \begin{align*} 5x+4 & > -2x+0, \\ 3x^2 & < -2x+0. \end{align*} \right. \]
Начнём с первого неравенства:
- \(5x + 4 > -2x\)
Сначала перенесём все члены с \(x\) на одну сторону, а свободные члены на другую:
\[5x + 2x > -4\]
\[7x > -4\]
Теперь разделим обе части неравенства на 7:
\[x > -\frac{4}{7}\]
Теперь второе неравенство:
- \(3x^2 < -2x\)
Перенесём все члены на одну сторону:
\[3x^2 + 2x < 0\]
Вынесем \(x\) за скобки:
\[x(3x + 2) < 0\]
Корни этого неравенства — это \(x = 0\) и \(x = -\frac{2}{3}\). Чтобы понять, какие интервалы удовлетворяют неравенству, попробуем подставить значения в пределах интервалов между корнями и за пределами корней. В итоге получаем, что неравенство выполняется, когда \(x\) лежит между корнями:
\[-\frac{2}{3} < x < 0\]
У нас уже есть интервал для первого неравенства \(x > -\frac{4}{7}\). Теперь находим общее решение системы неравенств, то есть пересечение интервалов для каждого неравенства:
\[x \in \left(-\frac{2}{3}; 0\right)\]
Обращаем внимание, что этот интервал уже включает в себя весь диапазон \(x\), который удовлетворяет первому неравенству \(x > -\frac{4}{7}\), поскольку \(-\frac{4}{7}\) больше, чем \(-\frac{2}{3}\).
Таким образом, итоговое множество решений системы неравенств:
\[x \in \left(-\frac{2}{3}; 0\right)\]
