(x² - 7x - 8)×(3X - x²) /( 2x + 5) меньше или равно 0

Привет! Давай вместе разберёмся с твоей задачей. Мы видим неравенство:

(x² - 7x - 8)×(3x - x²) / (2x + 5) ≤ 0

Чтобы решить это неравенство, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдём корни числителя и знаменателя - это нули многочленов.
2. Найдём интервалы, на которых выражение принимает положительные и отрицательные значения.
3. Составим систему неравенств, учитывая точки, где функция не определена из-за знаменателя.

Для начала разложим многочлен в числителе на множители:

x² - 7x - 8 = (x - 8)(x + 1).

Также заметим, что (3x - x²) = x(3 - x).

Итак, у нас получается:

(x - 8)(x + 1)x(3 - x) / (2x + 5) ≤ 0

Корни числителя: x = 8, x = -1, x = 0, x = 3. Корень знаменателя: x = -2.5 (2x + 5 = 0 при x = -2.5).

Теперь распределим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах. Нам нужно учесть, что при x = -2.5 выражение неопределено, поэтому эта точка будет разрывом на числовой оси.

Интервалы получатся такими: (-∞, -2.5), (-2.5, -1), (-1, 0), (0, 3), (3, 8), (8, ∞).

Теперь подберём знаки. Для этого можем подставить тестовые значения из каждого интервала в исходное выражение без учёта знаменателя, так как знак знаменателя нам уже известен.

1. Интервал (-∞, -2.5), берём x = -3: получаем положительный результат.
2. Интервал (-2.5, -1), берём x = -2: получаем отрицательный результат.
3. Интервал (-1, 0), берём x = -0.5: получаем положительный результат.
4. Интервал (0, 3), берём x = 1: получаем отрицательный результат.
5. Интервал (3, 8), берём x = 4: получаем положительный результат.
6. Интервал (8, ∞), берём x = 9: получаем отрицательный результат.

Теперь зная знаки на каждом интервале, можем записать решение неравенства, выбирая интервалы, где функция отрицательна или равна нулю, так как нас интересует условие ≤ 0.

Ответ будет таким:

x ∈ (-2.5, -1] ∪ (0, 3] ∪ [8, ∞).

Убедись, что ты проследил за знаками на каждом шаге и понял, как мы их выбирали. Если что-то непонятно, не стесняйся спрашивать!