Как решить задачу?

Чтобы решить эту задачу, давай сначала попробуем разобраться в условиях. Турист ехал на машине в соседний город и обратно. Общее расстояние туда и обратно составляет \(2 \times 420\) км, поскольку один путь — 420 км. Время в пути в одну сторону на 1 час больше, чем обратно, а значит, если время обратно — \(t\) часов, тогда время туда — \(t + 1\) час.

Скорость обратно на 10 км/ч больше, чем скорость туда. Давай обозначим скорость туда как \(v\) км/ч, тогда скорость обратно будет \(v + 10\) км/ч.

Теперь используем основное уравнение движения: путь равен произведению скорости на время. Для пути туда у нас уравнение будет \(420 = v \times (t + 1)\), а для пути обратно \(420 = (v + 10) \times t\). У нас получилось два уравнения с двумя неизвестными.

Из первого уравнения выразим \(v\) как \(v = \frac{420}{t+1}\), и подставим это во второе уравнение:

\(420 = (\frac{420}{t+1} + 10) \times t\).

Теперь разрешим это уравнение относительно \(t\):

\(420 = \frac{420t}{t+1} + 10t\),

\(420(t+1) = 420t + 10t(t+1)\),

\(420t + 420 = 420t + 10t^2 + 10t\),

\(420 = 10t^2 + 10t\),

$42 = t^2 + t$,

\(t^2 + t - 42 = 0\).

Теперь решим квадратное уравнение. Найдём корни уравнения. Разложим на множители:

\((t - 6)(t + 7) = 0\).

Получаем два корня: \(t = 6\) и \(t = -7\). Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи, поэтому \(t = 6\) часов — это время в пути обратно. Время в пути туда будет \(t + 1 = 7\) часов.

Теперь сложим время в пути туда и обратно: \(7 + 6 = 13\) часов.

Значит, весь путь туриста занял 13 часов.