Доказать

На фотографии написаны математические выражения с заданием "доказать, что при всех значения n". Над каждым выражением указано, на что оно должно делиться без остатка. Давай последовательно рассмотрим каждое из заданий:

а) \( 10^{2n} + 18n - 1 \) делится на 25.

Здесь трюк заключается в применении бинома Ньютона и свойства чётности степеней числа 10. Мы знаем, что \( 10^2 = 100 \) делится на 25. Следовательно, любая чётная степень числа 10 будет делиться на 25. Теперь посмотрим на слагаемое 18n:

• Если n чётно, то 18n будет чётным, и тогда 18n - 1 будет делиться на 25, так как 18n будет кратно 2, и отнимая 1, мы получим число вида 25k - 1.
• Если n нечетно, то 18n не будет четным, но если мы сложим его с \( 10^{2n} \), получим число, деление которого на 25 даст в остатке 18n – 1, поскольку \( 10^{2n} \) гарантированно делится на 25.

Итак, \( 10^{2n} + 18n - 1 \) будет делиться на 25 для любых целых n.

б) \( 2^{5n+3} + 5^{n+3} \) делится на 7.

Для доказательства этого утверждения применим малую теорему Ферма. По ней для простого числа p и целого числа a, которое не делится на p, выполняется равенство \( a^{p-1} \equiv 1 \mod p \). Так как 7 - простое число, мы можем применить малую теорему Ферма к степеням 2 и 5:

• \( 2^6 \equiv 1 \mod 7 \), откуда \( 2^{6k} \equiv 1 \mod 7 \) для любого целого k. Так как \( 5n+3 \) можно представить как \( 6m + r \), где r меньше 6, степень двойки можно разбить на множители так, что один из них будет вида \( 2^{6m} \) и будет давать остаток 1 при делении на 7, а оставшаяся степень двойки будет меньшей исходной степени и может быть проверена отдельно.
• Аналогично, \( 5^6 \equiv 1 \mod 7 \), значит \( 5^{6k} \equiv 1 \mod 7 \) для любого целого k. Тогда \( 5^{n+3} \) также можно разложить на множители, один из которых будет вида \( 5^{6m} \) и будет давать остаток 1 при делении на 7, а слагаемое \( 5^3 \) стоит проверить отдельно.

Берем степени, которые мы получили в остатках, и проверяем их. Например, \( 2^3 \equiv 1 \mod 7 \) и \( 5^3 \equiv 6 \mod 7 \). Сложение остатков даст нам 0, следовательно при сложении \( 2^{5n+3} \) и \( 5^{n+3} \) мы получим число, которое делится на 7.

в) \( 2^{3^n} - 1 \) делится на 3.

Это следует из того, что \( 2^{3^n} \) при любом n даст в остатке 2 при делении на 3 (так как 2 в любой степени при делении на 3 даёт остаток 2), таким образом, при вычитании единицы получается число, кратное 3.

Эти объяснения подтверждают, что данные выражения действительно делятся на указанные числа при всех значениях n.