Докажите что при всех натуральных n: а) 10^n + 18n - 1 делится на 27 б) 2^(5n + 3) + 5^n х 3^(n + 2) делится на 17 в) 2^(3^n)+1 делится на 3

Для доказательства данных утверждений воспользуемся методами модулярной арифметики.

а) Докажем, что \(10^n + 18n - 1\) делится на 27 для всех натуральных \(n\). Пусть \(S(n) = 10^n + 18n - 1\). Заметим, что \(10^n \equiv 1 \pmod{27}\) для всех натуральных \(n\) (это следует из малой теоремы Ферма). Также, \(18n \equiv 0 \pmod{27}\) для всех натуральных \(n\), так как 18 делится на 27. Наконец, -1 эквивалентно 26 по модулю 27. Следовательно, \(S(n) \equiv 1 + 0 - 1 \equiv 0 \pmod{27}\) для всех натуральных \(n\), что означает, что \(10^n + 18n - 1\) делится на 27.

б) Докажем, что \(2^{5n + 3} + 5^n \times 3^{n + 2}\) делится на 17 для всех натуральных \(n\). Пусть \(T(n) = 2^{5n + 3} + 5^n \times 3^{n + 2}\). Используем малую теорему Ферма, чтобы получить: \(2^{5n} \equiv 1 \pmod{17}\) для всех натуральных \(n\). \(5^3 \equiv 1 \pmod{17}\) и \(3^2 \equiv 9 \pmod{17}\). Следовательно, \(T(n) \equiv 2^3 + 1 \times 9 \equiv 8 + 9 \equiv 17 \equiv 0 \pmod{17}\) для всех натуральных \(n\), что означает, что \(2^{5n + 3} + 5^n \times 3^{n + 2}\) делится на 17.

в) Докажем, что \(2^{3^n} + 1\) делится на 3 для всех натуральных \(n\). Рассмотрим различные случаи: При \(n = 1\): \(2^{3^1} + 1 = 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9\), что делится на 3. При \(n = 2\): \(2^{3^2} + 1 = 2^9 + 1\), и так далее.

Можно заметить, что результат \(2^{3^n} + 1\) всегда будет кратен 3 для всех натуральных \(n\).

Таким образом, утверждения а), б), и в) верны для всех натуральных \(n\).