Что нужно вставить вместо *?

На фотографии изображено математическое уравнение, где мы должны найти значение, которое нужно вставить вместо звездочки (*), чтобы уравнение было верным.

Уравнение имеет вид: \[ \frac{(3x - 2) * (x - 9)}{(x - 2)(x + 4)} = \frac{(*x - 7)}{(x - 3)} \]

Решим эту задачу. Для начала нужно понять, что дроби равны, если их числители и знаменатели соответственно пропорциональны. Следовательно, мы можем приравнять числители, если знаменатели дробей уже равны. Нам нужно убедиться, что знаменатели дробей справа и слева имеют одинаковые множители.

Для этого приведем левую дробь к виду, где будет знаменатель (x - 3). Это возможно, если мы разложим числитель на множители и сократим общий множитель с знаменателем.

Разложим числитель левой дроби на множители: \[ (3x - 2) * (x - 9) = 3x^2 - 27x - 2x + 18 = 3x^2 - 29x + 18 \]

Затем нам нужно найти такие два числа, которые при умножении дадут 18*3 (произведение коэффициентов при x^2 и свободного члена), и в сумме дадут -29 (коэффициент при x). Нам подходят числа -24 и -5 (так как -24 * -5 = 18 * 3 и -24 + -5 = -29). Теперь мы можем разложить на множители: \[ 3x^2 - 29x + 18 = (3x - 2)(x - 9) = (3x - 2)(x - 3) - 5(x - 3) \]

Следовательно, знаменатели мы уже можем сократить, и выражение принимает вид: \[ \frac{(x - 3)(3x - 2 - 5)}{(x - 3)(x + 4)} = \frac{(x - 3)(3x - 7)}{(x - 3)(x + 4)} \]

После сокращения (x - 3) в числителе и знаменателе, получаем: \[ \frac{3x - 7}{x + 4} = \frac{(*x - 7)}{(x - 3)} \]

Теперь приравниваем числители, так как знаменатели уже равны. \[ 3x - 7 = *x - 7 \]

Отсюда: \[ 3x = *x \]

Следовательно, звездочка (*) заменяется на число 3. Ответ: 3.