Уравнение
На картинке у нас есть три системы уравнений. Давай по очереди попробуем решить каждую.
а) Здесь у нас система:
- \( (x - y)(x + 2y) = 0 \)
- \( x - 2y = 4 \)
Решаем первое уравнение через свойство нуля произведения: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.
- \( x - y = 0 \) или \( x + 2y = 0 \)
Если \( x - y = 0 \), тогда \( x = y \). Теперь подставим \( x \) во второе уравнение вместо \( y \): \( x - 2x = 4 \) \( -x = 4 \) \( x = -4 \) Тогда \( y = -4 \) тоже.
Если \( x + 2y = 0 \), тогда \( x = -2y \). Теперь подставим \( x \) во второе уравнение: \( -2y - 2y = 4 \) \( -4y = 4 \) \( y = -1 \) Тогда \( x = 2y = 2(-1) = -2 \).
Итак, у нас два решения системы: (-4; -4) и (-2; -1).
б) Система:
- \( (x + 2)^2 - (x - 1)^2 = 9y \)
- \( (y + 2)^2 - (y - 3)^2 = 5x \)
Для решения применим формулы сокращенного умножения (разность квадратов):
- \( x^2 + 4x + 4 - (x^2 - 2x + 1) = 9y \)
- \( y^2 + 4y + 4 - (y^2 - 6y + 9) = 5x \)
Раскроем скобки и упростим уравнения:
\( x^2 + 4x + 4 - x^2 + 2x - 1 = 9y \) \( 6x + 3 = 9y \) \( 2x + 1 = 3y \)
\( y^2 + 4y + 4 - y^2 + 6y - 9 = 5x \) \( 10y - 5 = 5x \) \( 2y - 1 = x \)
Теперь подставим \( x \) из второго уравнения в первое: \( 2(2y - 1) + 1 = 3y \) \( 4y - 2 + 1 = 3y \) \( 4y - 3y = 1 \) \( y = 1 \)
Подставляем \( y \) обратно во второе уравнение: \( x = 2y - 1 = 2*1 - 1 = 1 \)
Решение системы: (1; 1).
в) Система:
- \( x^2 + 4xy + 4y^2 = 7x + 14y \)
- \( 2x + 5y = 15 \)
Первое уравнение немного сложнее для преобразований, так как оно квадратичное по отношению к каждой из переменных и представляет собой полный квадрат: \( (x + 2y)^2 = 7x + 14y \)
Для упрощения подставим \( x \) из второго уравнения в первое: \( (2x + 5y)^2 = 7(2x + 5y) \) \( 4x^2 + 20xy + 25y^2 = 14x + 35y \)
Но так как это обработка довольно сложная, мы можем подойти к решению по-другому. Второе уравнение уже выражает \( x \) через \( y \), давайте перепишем его: \( x = \frac{15 - 5y}{2} \)
Теперь подставим это в первое уравнение: \( (\frac{15 - 5y}{2} + 2y)^2 = 7(\frac{15 - 5y}{2}) + 14y \) Упростим уравнение, домножим обе стороны на 4 чтобы избавиться от дробей и решим относительно \( y \), так мы найдем решение системы.
