Может ли в графе существовать эйлеров путь, если в этом графе 4 вершины четной степени и 2 вершины нечётной степени

В данном случае в графе не может существовать эйлеров путь. Для того чтобы существовал эйлеров путь, необходимо, чтобы все вершины имели четную степень (то есть количество инцидентных рёбер к каждой вершине должно быть четным числом) или же количество вершин нечетной степени равнялось нулю или двум. В вашем случае, имея 4 вершины четной степени и 2 вершины нечетной степени, не выполняется необходимое условие для наличия эйлерова пути в графе.