X + 1/x целое число, докажите ,что число x^n +1/x^n при любом n тоже является целым числом

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции. Пусть число x + 1/x является целым числом. Нам необходимо доказать, что число x^n + 1/x^n также будет целым для любого натурального числа n.

1. База индукции: При n=1 у нас имеется число x + 1/x, которое по условию целое. База индукции верна.
2. Предположение индукции: Пусть для некоторого k число x^k + 1/x^k является целым числом.
3. Шаг индукции: Докажем, что если x^k + 1/x^k — целое число, то x^(k+1) + 1/x^(k+1) также будет целым. Рассмотрим выражение x^(k+1) + 1/x^(k+1): x^(k+1) + 1/x^(k+1) = (xx^k) + 1/(xx^k) = x*(x^k + 1/x^k) + 1 = x*(целое число) + 1 = целое число Таким образом, мы доказали, что если x^k + 1/x^k целое, то и x^(k+1) + 1/x^(k+1) также будет целым. Следовательно, по принципу математической индукции, числа x^n + 1/x^n будут являться целыми для всех натуральных n.