Номер 4

Привет! Давай вместе разбираться с заданием номер 4. Задача требует определить, при каких значениях x и y система уравнений имеет бесконечное число решений.

a) Сначала посмотрим на первое уравнение этой системы:

\[ \frac{x}{2} - \frac{3y}{2} = 3 \]

Мы можем умножить обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

\[ x - 3y = 6 \]

Теперь посмотрим на второе уравнение:

\[ 2x + 3y = 2 \]

Чтобы система имела бесконечное количество решений, коэффициенты при x и y в обоих уравнениях должны быть пропорциональны, а свободные члены тоже должны быть пропорциональны друг другу.

Уравнение, полученное из первого, выглядит так:

\[ x - 3y = 6 \]

Уравнение из второго:

\[ 2x + 3y = 2 \]

Здесь мы видим, что коэффициенты при y уже противоположны, но коэффициенты при x различаются в 2 раза. Попробуем умножить первое уравнение на 2, чтобы коэффициент при x тоже стал равным 2:

\[ 2x - 6y = 12 \]

Теперь у нас есть система:

\[ 2x - 6y = 12 \] \[ 2x + 3y = 2 \]

Чтобы система имела бесконечно много решений, нужно, чтобы одно уравнение было кратно другому. В нашем случае это невозможно, так как свободные члены 12 и 2 не пропорциональны коэффициентам при переменных. Значит, система уравнений на пункт a) бесконечного количества решений не имеет.

Рассмотрим теперь вариант (с):

\[ \frac{x + 4y}{3} = \frac{5y}{3} \]

Можно умножить обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателей:

\[ x + 4y = 5y \] \[ x = 5y - 4y \] \[ x = y \]

Теперь второе уравнение:

\[ \frac{4x}{3} + y = 5 \]

Так как из первого уравнения мы выразили, что \( x = y \), можем подставить \( y \) вместо \( x \) во второе уравнение:

\[ \frac{4y}{3} + y = 5 \]

Умножим оба члена уравнения на 3, чтобы снова избавиться от знаменателя:

\[ 4y + 3y = 15 \] \[ 7y = 15 \] \[ y = \frac{15}{7} \] \[ y = \frac{15}{7} \]

Так как \( x = y \), то \( x = \frac{15}{7} \) также.

Таким образом, в пункте (с) система имеет единственное решение, а в пункте (a) — не имеет бесконечного множества решений.

Если что-то ещё не понятно — спрашивай, разберёмся!