Решение

Привет! Давай разбираться с твоим заданием по геометрии. Нам нужно найти косинус угла B в прямоугольном треугольнике ABC, где \( \angle C = 90^\circ \) и известно, что \( \sin \angle B = \frac{4}{5} \).

Сначала вспомним основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \angle B + \cos^2 \angle B = 1 \]

Мы уже знаем, что \( \sin \angle B = \frac{4}{5} \), так что можем подставить это в тождество: \[ \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2 \angle B = 1 \]

Распишем подробнее: \[ \frac{16}{25} + \cos^2 \angle B = 1 \]

Чтобы найти \( \cos^2 \angle B \), вычтем \( \frac{16}{25} \) из единицы: \[ \cos^2 \angle B = 1 - \frac{16}{25} \] \[ \cos^2 \angle B = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} \] \[ \cos^2 \angle B = \frac{9}{25} \]

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти \( \cos \angle B \). Поскольку угол B находится в первой четверти (угол прямоугольного треугольника, не считая прямого угла), его косинус будет положительным: \[ \cos \angle B = \sqrt{\frac{9}{25}} \] \[ \cos \angle B = \frac{3}{5} \]

Вот и ответ: \( \cos \angle B = \frac{3}{5} \). Удачи с учебой!