4x-3-x²>0 2x²-5x+2≤0 теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.

Привет! Давай разберемся с этой системой неравенств шаг за шагом.

Первое неравенство: \(4x - 3 - x^2 > 0\). Перепишем его в стандартном виде, перенося все члены в левую сторону и упорядочив по степеням \(x\): \(-x^2 + 4x - 3 > 0\). Это квадратное неравенство, чтобы его решить, нам нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения: \(-x^2 + 4x - 3 = 0\). Решим это уравнение через дискриминант. Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), соответственно, у нас \(a = -1\), \(b = 4\), \(c = -3\). Получаем \(D = 4^2 - 4*(-1)*(-3) = 16 - 12 = 4\). Корень из дискриминанта равен 2. Тогда корни уравнения: \(x_1 = (-b - \sqrt{D}) / (2a) = ( -4 - 2 ) / (-2) = 3\), \(x_2 = (-b + \sqrt{D}) / (2a) = ( -4 + 2 ) / (-2) = 1\). Так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный (-1), то неравенство выполняется между корнями. То есть \(1 < x < 3\).

Второе неравенство: \(2x^2 - 5x + 2 \leq 0\). Это тоже квадратное неравенство. Попробуем найти корни соответствующего уравнения методом разложения на множители, так как коэффициенты здесь небольшие. Нам нужны два числа, которые в произведении дают 4 (потому что \(a*c\)) и в сумме дают -5. Это числа -4 и -1. Поэтому разложение такое: \(2x^2 - 5x + 2 = (2x - 1)(x - 2) \leq 0\). Корни этого уравнения \(x = 1/2\) и \(x = 2\). Так как коэффициент при \(x^2\) положительный (2), то неравенство выполняется при \(x\) между корнями. Получаем \(1/2 \leq x \leq 2\).

Теперь найдем пересечение интервалов для двух неравенств. Оба неравенства должны выполняться одновременно. Находим общую часть интервалов \(1 < x < 3\) и \(1/2 \leq x \leq 2\), и это будет \(1 < x \leq 2\).

Значит решением системы неравенств будет интервал \(1 < x \leq 2\).