Найти ок

Question 1

Задача Задача №965454

А

Аноним

25 апреля 2024 20:01 · публичный вопрос

А

Аноним 25 апреля 2024 20:01

Найти ок

Answer

Привет! Давай разберемся с этой задачей вместе.

На рисунке изображен треугольник MNK с прямым углом в точке N, вписанный круг с центром O и отрезок OK, который мы должны найти.

Так как треугольник MNK - прямоугольный, радиус вписанного круга можно связать с его сторонами. Радиус вписанного круга равен площади треугольника, деленной на полупериметр. Для начала найдем площадь и полупериметр треугольника MNK.

Площадь \( S \) прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов \( NM \) и \( NK \), то есть \( S = \frac{1}{2} * NM * NK \). По рисунку катеты равны 8 и 12, следовательно, \( S = \frac{1}{2} * 8 * 12 = 48 \) квадратных единиц.

Периметр \( P \) треугольника \( MNK \) равен сумме длин его сторон. Но для нашего задания нужен полупериметр, равный половине периметра, то есть \( p = \frac{1}{2} * P \). Чтобы найти периметр, надо найти гипотенузу \( MK \) по теореме Пифагора: \( MK = \sqrt{NM^2 + NK^2} = \sqrt{8^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} \). Полупериметр тогда будет \( p = \frac{1}{2} * (NM + NK + MK) = \frac{1}{2} * (8 + 12 + 4\sqrt{13}) = 10 + 2\sqrt{13} \).

Радиус \( r \) вписанного круга можно найти по формуле \( r = \frac{S}{p} \), то есть \( r = \frac{48}{10 + 2\sqrt{13}} \). Сокращаем на 2, получим \( r = \frac{24}{5 + \sqrt{13}} \).

Теперь, чтобы найти OK, можно использовать следующую логику: OK состоит из радиуса вписанного круга и отрезка, который равен разности половины длины гипотенузы \( MK \) и радиуса \( r \). То есть \( OK = \frac{MK}{2} - r \). Подставляем известные значения и упрощаем выражение.

\( OK = \frac{4\sqrt{13}}{2} - \frac{24}{5 + \sqrt{13}} = 2\sqrt{13} - \frac{24}{5 + \sqrt{13}} \).

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на сопряженное число к знаменателю.

\( OK = 2\sqrt{13} - 24 \frac{5 - \sqrt{13}}{25 - 13} \).

Теперь упростим:

\( OK = 2\sqrt{13} - \frac{24(5 - \sqrt{13})}{12} = 2\sqrt{13} - 2(5 - \sqrt{13}) \).

Раскрываем скобки и упрощаем выражение:

\( OK = 2\sqrt{13} - 10 + 2\sqrt{13} = 4\sqrt{13} - 10 \).

Вот и все, мы нашли длину отрезка OK.

Question 2

найти ок

Answer

Привет! Давай разберемся с этой задачей вместе. На рисунке изображен треугольник MNK с прямым углом в точке N, вписанный круг с центром O и отрезок OK, который мы должны найти. Так как треугольник MNK - прямоугольный, радиус вписанного круга можно связать с его сторонами. Радиус вписанного круга равен площади треугольника, деленной на полупериметр. Для начала найдем площадь и полупериметр треугольника MNK. Площадь \( S \) прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов \( NM \) и \( NK \), то есть \( S = \frac{1}{2} * NM * NK \). По рисунку катеты равны 8 и 12, следовательно, \( S = \frac{1}{2} * 8 * 12 = 48 \) квадратных единиц. Периметр \( P \) треугольника \( MNK \) равен сумме длин его сторон. Но для нашего задания нужен полупериметр, равный половине периметра, то есть \( p = \frac{1}{2} * P \). Чтобы найти периметр, надо найти гипотенузу \( MK \) по теореме Пифагора: \( MK = \sqrt{NM^2 + NK^2} = \sqrt{8^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13} \). Полупериметр тогда будет \( p = \frac{1}{2} * (NM + NK + MK) = \frac{1}{2} * (8 + 12 + 4\sqrt{13}) = 10 + 2\sqrt{13} \). Радиус \( r \) вписанного круга можно найти по формуле \( r = \frac{S}{p} \), то есть \( r = \frac{48}{10 + 2\sqrt{13}} \). Сокращаем на 2, получим \( r = \frac{24}{5 + \sqrt{13}} \). Теперь, чтобы найти OK, можно использовать следующую логику: OK состоит из радиуса вписанного круга и отрезка, который равен разности половины длины гипотенузы \( MK \) и радиуса \( r \). То есть \( OK = \frac{MK}{2} - r \). Подставляем известные значения и упрощаем выражение. \( OK = \frac{4\sqrt{13}}{2} - \frac{24}{5 + \sqrt{13}} = 2\sqrt{13} - \frac{24}{5 + \sqrt{13}} \). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на сопряженное число к знаменателю. \( OK = 2\sqrt{13} - 24 \frac{5 - \sqrt{13}}{25 - 13} \). Теперь упростим: \( OK = 2\sqrt{13} - \frac{24(5 - \sqrt{13})}{12} = 2\sqrt{13} - 2(5 - \sqrt{13}) \). Раскрываем скобки и упрощаем выражение: \( OK = 2\sqrt{13} - 10 + 2\sqrt{13} = 4\sqrt{13} - 10 \). Вот и все, мы нашли длину отрезка OK.