Найти и проверить интеграллы

Привет! На картинке у нас есть следующий интеграл: ∫(√x - 1/√x)dx. Давай пошагово решим его.

Сначала разделим интеграл на два:

1. ∫√x dx
2. ∫(1/√x) dx или ∫x^(-1/2) dx.

Теперь интегрируем каждый из них по отдельности.

Для первого: ∫√x dx = ∫x^(1/2) dx.

Используем правило степенной функции для интегрирования: ∫x^(n) dx = x^(n+1)/(n+1) + C, где C - константа интегрирования.

Применим правило к нашему интегралу: ∫x^(1/2) dx = (x^(3/2))/(3/2) + C1 = (2/3)x^(3/2) + C1.

Теперь второй интеграл: ∫x^(-1/2) dx = (x^(1/2))/(1/2) + C2 = 2x^(1/2) + C2.

Теперь соберем все вместе: ∫(√x - 1/√x)dx = (2/3)x^(3/2) - 2x^(1/2) + C.

Здесь C - новая константа интегрирования, которая является суммой C1 и C2.

Вот так, можно решить данный интеграл. Проверить его можно, взяв производную от полученного выражения и убедившись, что она равна подынтегральному выражению.