.
Привет! Давай вместе разберемся с заданиями на фото.
- Нужно вычислить интеграл выражения \( (8x^3 - 3x^2 + 1) \) от \(-1\) до \(2\). Для начала найдем первообразную функции, а потом подставим пределы интегрирования. Проинтегрируем каждое слагаемое отдельно:
\( \int (8x^3)dx = 2x^4 \), \( \int (-3x^2)dx = -x^3 \), \( \int (1)dx = x \).
Теперь подставим верхний и нижний пределы и найдем разность значений полученной функции в этих точках:
\( 2*2^4 - 2*(-1)^4 - 2^3 + (-1)^3 + 2 - (-1) \).
Высчитай значения и получишь ответ.
- Здесь тебе нужно найти первообразную для функции \( f(x) = 2 \sin 2x \), график которой проходит через точку \( A\left(\frac{\pi}{2};1\right) \). Первообразная для \( \sin 2x \) будет \( -\frac{1}{2} \cos 2x \), но т.к. перед синусом стоит коэффициент 2, умножим первообразную на 2:
Получим \( F(x) = -\cos 2x + C \).
Чтобы найти \( C \), подставим координаты точки \( A \):
\( 1 = -\cos(2 * \frac{\pi}{2}) + C \) \( 1 = -\cos(\pi) + C \) \( 1 = -(-1) + C \) \( 1 = 1 + C \) \( C = 0 \).
Таким образом, первообразная будет \( F(x) = -\cos 2x \).
- Здесь нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
а) Фигура, ограниченная линиями \( y = x^2 \), \( x = 2 \), \( x = 3 \), \( y = 0 \). Площадь фигуры - это разность интегралов под кривой \( y = x^2 \) от \( x = 2 \) до \( x = 3 \) и интеграл под осью \( x \):
\( \int_2^3 x^2 dx \) - область под кривой от 2 до 3.
Для вычисления интеграла найди первообразную \( x^2 \), которая равна \( \frac{x^3}{3} \), и подставь пределы интегрирования.
б) Фигура, ограниченная линиями \( y = 4 - x^2 \), \( y = 2 + x \). Найди точки пересечения линий, решив уравнение \( 4 - x^2 = 2 + x \), чтобы определить пределы интегрирования от \( x_1 \) до \( x_2 \). После этого вычисли интеграл под верхней кривой и вычти интеграл под нижней кривой:
\( \int_{x_1}^{x_2} (4 - x^2) dx - \int_{x_1}^{x_2} (2 + x) dx \).
Это и будет площадь фигуры.
Подставь точки пересечения и найди площадь. Удачи с решением!
