.

Давай рассмотрим вместе задачи с фотографии:

3. Задача 3. Нас просят посчитать количество различных шестизначных чисел, которые мы можем записать, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5 и 6 при условиях, указанных в пунктах 1) - 3). Начнем с перебора:

1. Первая цифра должна быть 5. Это означает, что у нас уже занято одно место из шести.
2. Первая цифра – 3, последняя – 2. Значит, мы уже знаем, какие цифры стоят на первом и последнем местах.
3. Цифры 5 и 6 должны идти подряд, но т.к. первая цифра – 3, они должны идти либо на втором и третьем местах, либо на четвертом и пятом (поскольку на последнем месте у нас 2).

Теперь давай попробуем посчитать варианты расстановки цифр:

• Первое место – 3 (1 вариант).
• Последнее место – 2 (1 вариант).
• Если 5 и 6 стоят на втором и третьем местах, тогда на четвертый и пятый места остаются 1 и 4. Они могут располагаться в любом порядке, значит у нас есть 2! = 2 варианта расположения этих двух цифр.
• Если 5 и 6 стоят на четвертом и пятом местах, то ситуация аналогичная предыдущему пункту и добавляет ещё 2 варианта расстановки.

Таким образом, общее количество вариантов: 1 (первое место) * 1 (последнее место) * (2 (варианта для расстановки 1 и 4 при 5 и 6 на 2 и 3 местах) + 2 (варианта для расстановки 1 и 4 при 5 и 6 на 4 и 5 местах)) = 4 варианта.

Ответ на задачу 3: 4 варианта.

4. Задача 4 находится под номером 4, и мы видим три факториала для вычисления:

1. \( \frac{15!}{13!} \) – здесь мы можем сократить общие множители в факториалах и получим \( 14 \times 15 \). Это даст нам \( 210 \).
2. \( \frac{61!}{8! \times 53!} \) – аналогично предыдущему, сократим \( 53! \) и получим \( 54 \times 55 \times ... \times 61 \), что равно произведению чисел от 54 до 61.
3. \( \frac{20!}{18! \times 2!} \) – сокращаем \( 18! \) и у нас остается \( 19 \times 20 \) в числителе, а в знаменателе \( 2! \) равняется \( 2 \), т.е. получится \( \frac{19 \times 20}{2} = 190 \).

Ответ на задачу 4: 1) 210, 2) \( 54 \times 55 \times ... \times 61 \), 3) 190.