Реши

Давай посмотрим на твою задачу.

1. Нужно определить, какие из предложенных пар углов соответствуют углам равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны между собой, а сумма всех углов треугольника равна 180°. Проверяем пункты:

а) 45° и 75° — сумма не равна 180°; б) 80° и 60° — сумма не равна 180°; в) 100° и 40° — сумма 100° + 40° + 40° (два угла у основания должны быть равны) = 180°, так что это пара углов равнобедренного треугольника; г) 20° и 90° — сумма не равна 180°.

Правильный ответ: в) 100° и 40°.

2. Здесь дано отношение углов треугольника и нужно найти величину наибольшего из них. Сначала находим коэффициент пропорциональности. Сумма углов треугольника равна 180°, значит:

0,6k + 0,2k + k = 180°, 1,8k = 180°, k = 180° / 1,8, k = 100°.

Наибольший угол — это k, следовательно, его величина 100°.

3. Треугольник АВК - равнобедренный с основанием АК. Угол АКВ больше на 30° чем угол С. Так как АКВ и АВК - углы при основании, они равны, следовательно угол С + 30° = угол АКВ = угол АВК. Из этого следует, что угол С меньше каждого из этих углов на 30°. Так как в сумме углы треугольника дают 180°, мы имеем следующее уравнение:

угол АКВ + угол АКВ + угол С = 180°, угол С + 30° + угол С + 30° + угол С = 180°, 3 * угол С + 60° = 180°, 3 * угол С = 180° - 60°, 3 * угол С = 120°, угол С = 120° / 3, угол С = 40°.

Значит углы АКВ и АВК равны 40° + 30° = 70°.

4. В прямоугольном треугольнике АВС угол С составляет 90°, и катет ВС в 2 раза больше расстояния от точки М до гипотенузы АВ. Из этого условия следует, что точка М делит катет ВС пополам (потому что расстояние от точки до прямой является отрезком, перпендикулярным этой прямой, и в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы). Таким образом, BM = MC и BM = BC/2. Тогда BC = 17 см, значит BM = 17/2 = 8,5 см. Поскольку BM является медианой, она также является высотой, и треугольник АМВ является равнобедренным с основанием МВ и равными сторонами АМ и АВ. Следовательно, гипотенуза АВ = 2 * АМ = 2 * 8,5 см = 17 см.

5. Если в прямоугольном треугольнике провести биссектрису угла при гипотенузе, она образует два угла - один из них равен половине прямого угла, то есть 45°, а другой будет равен половине острого угла А. Если в треугольнике АВС угол С равен 90°, а угол A меньше угла B (угол A образован гипотенузой и более коротким катетом), то биссектриса угла СН разделит его пополам, создав угол АСН, который равен угол A / 2. Углы А и В в сумме дают 90°, следовательно, если угол A будет x, то угол B будет 90° - x и угол АСН будет x/2. Таким образом, искомый угол между биссектрисой и медианой - это разница между углом BCM и углом АСН: угол BCM (45°) - угол АСН (x/2).